28 paź 2012

Teoria i przykłady - pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodną funkcji f nazywamy granicę (o ile istnieje) ilorazu różnicowego




Jeśli taka granica nie istnieje, to funkcja w tym punkcie nie ma pochodnej.


Pochodną funkcji oznaczamy:





Ogólne reguły obliczania pochodnych
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x0, to zachodzą poniższe wzory:




Podstawowe wzory na obliczanie pochodnych





Reguła różniczkowania funkcji złożonej

Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie x0, a funkcja f jest różniczkowalna w punkcie g(x0)m a funkcja f  x g jest różniczkowalna w punkcie x0 i zachodzi wzór:




Przykład 1.


Przykład 2.


Przykład 3.


Przykład 4.


Przykład 5.



Jeśli ktoś chciałby zadania dotyczące obliczania pochodnych, proszę napisać w komentarzu i wtedy opublikuję razem z odpowiedziami. 

Zdaję sobie sprawę, że nie wszystko jest zrozumiałe, ponieważ jest to materiał, którego uczymy się dopiero na studiach, a przed obliczaniem pochodnych powinno się umieć obliczać granice, jednak służę pomocą. :) 

Sonda została stworzona ponownie, ponieważ nagle przestała działać. 

Na szablon wciąż czekam...

Pozdrawiam i czekam na Wasze pytania.

16 komentarzy:

  1. I w tym momencie opadły mi ręce... Kazali nam przygotować się z pochodnych (na fizyce) nie informując jakie informacje są potrzebne do obliczania pochodnych. Jakże mnie irytuje okrojony program nauczania nawet w klasach mat-fiz w ogólniakach. Mimo wszystko niezmiernie mi pomogłaś. Czy mogłabyś pokazać jeszcze jak rozwiązać przykładowe zadanie treściowe? Tak aby pokazać gdzie i kiedy dokładnie używamy pochodnych?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. oczywiście pomijając fakt, że musi istnieć granica (lim) funkcji itd. o czym nadmieniłaś na początku. Chodzi mi tu o praktyczne wykorzystanie pochodnych.

      Usuń
    2. Postaram się poszukać czegoś i edytować notkę :)

      Usuń
    3. A tak btw- zgadzam się z Tobą... Tyle, że z moją klasą facet od matmy w lo zrobił pochodne, granice i inne takie prostsze rzeczy. :3

      Usuń
    4. Przeglądnęłam cały zbiór zadań z analizy matematycznej ze studiów, bo sama nie przypominałam sobie żadnych zadań z treścią, w których można wykorzystać pochodne.
      Są zadania z treścią, których nigdy nie tknęliśmy, ale do tego potrzebna jest znajomość obliczania ekstremum funkcji (maksimum i minimum) oraz przedziałów monotoniczności, wypukłości i wklęsłości i punktów przegięcia funkcji. To wszystko razem to badanie przebiegu zmienności funkcji. Temat dość obszerny jak widać, na kilka notek przynajmniej. Dopiero wtedy można zajmować się zadaniami z treścią, bo same pochodne raczej nic nam nie mówią. Pochodne są wstępem do obliczania zbieżności szeregów, szeregów i ciągów funkcyjnych oraz funkcji wielu zmiennych i wyznaczania ekstremów warunkowych i innych dziwnych przykładów.

      Usuń
    5. Ekstrema funkcji miałam, monotoniczność też, wypukłość czy wklęsłość także, punkty przecięcia też oraz co dziwne zbieżność ciągów także (może nie zbyt obszernie ale także)... I to mnie przeraża. Z tego wynika, że moi nauczyciele skaczą po działach zamiast uczyć systematycznie.
      Dzięki... teraz już wiem dlaczego większości zadań nie rozumiem... Ach.

      Usuń
    6. Nie rozumiem, czego nie rozumiesz? :)
      Zawsze możesz odezwać się na gadu, zapraszam na pogawędkę o matematyce :D

      Usuń
  2. Hej ;)
    Fajny blog, będę zaglądać :)
    Zapraszam do mnie: http://so-romantic-story.blogspot.com/
    Jak możesz to dodaj do obserwatorów i skomentuj :)

    OdpowiedzUsuń
  3. Ostatnio mój brat próbował wytłumaczyć mi pochodne. Tak, mi - gimnazjalistce. Zacnie to wygląda, nie powiem, tym bardziej, że patrzę na to wszystko z niemałym przerażeniem...
    Podziwiam Cię jednak i serdecznie pozdrawiam. :)

    OdpowiedzUsuń
  4. Uważam że wprowadzenie obowiązkowej matatyki było bardzo dobrym pomysłem, matematyką to nauka która ma wiele wspólnego z innymi niematemtycznumi naukami np: prawem, psychologią i słusznie się twierdzi że to królowa nauk ;)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Oszalałaś? Wprowadzenie obowiązkowej matury z matematyki było najgorszym pomysłem z możliwych!

      Usuń
    2. Studiuję prawo i nie wiem, gdzie tam matematyka. Nie licząc logiki w pierwszym semestrze, potraktowanej bardzo po macoszemu, bo nawet wykładowcy wiedzą, że raczej się tym nie zainteresujemy, nie spotkałam się z niczym matematykopodobnym.

      Usuń
  5. Pochodnych używa się bardzo często w fizyce, dzięki, że poświęcasz czas na pomaganie innym w matematyce:)

    OdpowiedzUsuń
  6. Naturalnie, Prosektorycznie jest zainteresowane współpracą. Twój blog już został dodany do zakładki "Umarli".

    OdpowiedzUsuń
  7. http://insuperable-blog.blogspot.com zapraszam został reaktywowany. U ciebie super widać, że dużo się zmieniło odkąd ostatnio tu byłam. Zaobserwujesz? Chcemy dojść do 1000, jak coś to pisz u nas. Dzięki ;*

    OdpowiedzUsuń