26 paź 2014

Ciekawostka - liczba π

Liczba π jest najsławniejsza liczbą w matematyce. Gdyby przyznawano liczbom Oscary, π zgarniałaby nagrodę co roku.

Liczba π to długość obwodu koła (okręgu) podzielona przez długość przechodzącą przez środek (średnicę). Jej wartość, czyli stosunek tych dwóch długości, nie zależy od rozmiaru okręgu. Niezależnie jak duże jest koło, π jest zawsze takie samo. Jednak w matematyce π pojawia się wszędzie!

Stosunek długości okręgu do jego średnicy budził zainteresowanie już w starożytności. Około roku 2000 p.n.e. Babilończycy zauważyli, że okrąg jest mniej więcej 3 razy dłuższy niż średnica. Jednak to Archimedes dał prawdziwy początek teorii liczby π około 225 roku p.n.e. Szacował on, że wartość π mieści się w przedziale między 223/71 i 220/70. Dzięki Archimedesowi znamy przybliżenie liczby π za pomocą ułamka 22/7.

Natomiast zasługę wprowadzenia samego symbolu π należy przypisać Williamowi Jonesowi, walijskiemu matematykowi, który w XVIII wieku piastował stanowisko wiceprezesa Towarzystwa Królewskiego w Londynie.

Nigdy nie poznamy dokładnej wartości π, ponieważ jest to liczba niewymierna. Udowodnił to w 1768 roku szwajcarski uczony Johann Lambert.
Oto pierwszych 20 miejsc po przecinku: 3,14159265358979323846...

Krótka ciekawostka na temat liczby π. 
Mam nadzieję, że się podobała i czytaliście z zaciekawieniem. 
Warto zapisać sobie powyższe wzory i zapisywać w oddzielnym zeszycie, żeby mieć swoje własne kompendium matematyczne - wiem to z autopsji, uczyłam się tak do matury! :)
Dobrze byłoby gdybyście w komentarzu podawali propozycje następnych notek, bo czasem sama nie mam pomysłu.
W następnej notce będą pierwiastki i potęgi. :)

19 paź 2014

Teoria i przykłady - działania w zbiorze liczb rzeczywistych

Kolejność działań

Jeżeli w zadaniu występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w tych nawiasach, które wewnątrz nie zawierają innych nawiasów.

Jeśli w zadaniu nie występują nawiasy, to działania wykonujemy w następującej kolejności:
Potęgowanie lub pierwiastkowanie
Mnożenie lub dzielenie w kolejności występowania tych działań
Dodawanie lub odejmowanie

Prawa działań

1. Prawo przemienności
Jeżeli a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to



2. Prawo łączności
Jeżeli a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to



3. Prawo skreśleń



4. Prawo rozdzielności




Własności działań

1. Liczba 0 jako element neutralny dodawania



2. Liczba 1 jako element neutralny mnożenia



3.



4.



5. Liczba 0 w mnożeniu
Iloczyn kilku liczb rzeczywistych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy 0.




Wykonywalność działań

Mówimy, że działanie jest wykonalne w pewnym zbiorze wtedy, gdy dla dowolnych elementów z tego zbioru wynik wykonanego działania również należy do tego zbioru.

W zakresie 4 podstawowych działań mamy:
W zbiorze liczb naturalnych (N) wykonywalne są: dodawanie, mnożenie
W zbiorze liczb całkowitych (C) wykonywalne są: dodawanie, mnożenie, odejmowanie
W zbiorze liczb wymiernych (W) wykonywalne są: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie z wyjątkiem dzielenia przez 0
W zbiorze liczb rzeczywistych (R) wykonywalne są: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie z wyjątkiem dzielenia przez 0



Wstęp do pierwiastków, o które mnie proszono, musiał być! :)

Mam nadzieję, że się przyda, a pierwiastki będą w następnej notce.

Nowy szablon na blogu. Jak Wam się podoba? :)